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\usepackage{titling}
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%%文档的题目、作者与日期
\author{王立庆（2022级数学与应用数学1班）}%、2022级应用统计学专业}
\title{高等代数(二)教学大纲（学生使用）}

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\begin{document}

\maketitle

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%\section*{}

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\vspace{-1cm}

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\section*{时间地点}

\begin{itemize}
\item 上课时间地点：周二下午5-8节，二教109; 周四上午3-4节，六教110.  
\item 答疑时间地点：周二下午15:00 - 17:00, 周二晚上18:30 - 20:30, 一教206. 
\end{itemize}

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\section*{主要内容}
\begin{enumerate}
\itemsep0em 
\item  使用辗转相除法计算两个多项式的最大公因式，计算一个多项式的重因式。%2
\item  在实数和复数范围内分解多项式，判断多项式在有理数范围内是否不可约，计算有理根。%2
\item  证明：多项式环的带余除法定理。
\item  证明：数域上的两个多项式的最大公因式，不计零次因式，是唯一存在的。
\item  证明：多项式的$k$重因式是它的导数多项式的$k-1$重因式。

\item  理解线性变换的概念，计算线性变换的像空间与核空间，求出它们的基与维数。%7
\item  计算线性变换关于一个基的矩阵，理解线性变换的不变子空间与分块上三角矩阵的关系。%7
\item  计算矩阵的特征值与特征向量，判断矩阵是否能够相似于对角阵，证明有关命题。%7
\item  证明：线性映射的像与核都是子空间。
\item  证明：$n$ 维向量空间上的线性变换全体与 $n$阶矩阵全体之间存在保持加法数乘和乘法的同构。
\item  证明：线性变换的属于不同本征值的本征向量之间是线性无关的。


\item  理解欧氏空间的概念，计算欧氏空间中的向量在子空间中的正射影。%8
\item  使用施密特正交化方法，从欧氏空间的一个基得到一个规范正交基。%8
\item  理解正交变换和对称变换的概念，计算这两类变换关于规范正交基的矩阵，证明有关命题。%8
\item  证明：两个向量的内积的绝对值小于等于这两个向量的长度的乘积。
\item  证明：实对称矩阵必定正交相似于对角阵。

\item  在实数和复数范围内，用配方法和合同变换两种方法将二次型化为典范形式。%9
\item  使用多种方法判断实对称矩阵是否正定矩阵，画出平面二次曲线的图形和主轴。%9
\item  证明：实二次型的正负惯性指数在非奇异的实数变量代换下是不变的。
\item  证明：实二次型是正定的当且仅当它的对称矩阵的一切主子式都大于零。

\end{enumerate}

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\section*{课程成绩}
\begin{enumerate}
\item  平时成绩 40 \%.
\begin{enumerate}
\itemsep0em 
\item[1.1.] 课堂考勤10次，共10分。
\item[1.2.] 课堂练习1次，共10分。
\item[1.3.] 期中考试1次，共20分。
\item[1.4.] 课外作业15次，共60分。
\end{enumerate}

\item  期末成绩 60 \%.

\end{enumerate}


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\section*{参考教材}
\begin{enumerate}
\item  张禾瑞、郝鈵新，高等代数，高等教育出版社，2007年6月第五版。
\item  谢启鸿、姚慕生、吴泉水，高等代数，复旦大学出版社，2022年11月第四版。
\item  Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer, December 2014. 
\end{enumerate}

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\newpage

\section*{授课计划}

\begin{table}[ht!]\centering
\begin{tabular}{|M{0.6cm}|M{0.8cm}|M{10cm}|M{1.7cm}|M{1.7cm}|}  \hline 
周&章节	&	内容		&例题		&习题 			\\ \hline 
1	&2.1	&数环上的多项式，加法和乘法，多项式的次数的性质		&	&1, 2, 3	\\ \hline
	&2.2	&多项式环，整除的性质，多项式的带余除法，商式和余式		& 	&1, 4, 5, 7		\\ \hline
2	&2.3	&最大公因式，辗转相除法，互素的多项式，互素的等价条件	&1, 2	 	&1, 5, 7, 10		\\ \hline
	&2.4	&不可约多项式，唯一因式分解定理，典型分解式		&1	 	&1, 2, 3, 4 		\\ \hline
3	&2.5	&多项式的导数，重因式，存在重因式的充分必要条件		&	&3, 4, 5		\\ \hline
	&2.6	&多项式函数，余式定理，综合除法，根，多项式相等的两种概念	&1, 2	 	&2, 3, 4, 5		\\ \hline
4	&2.7	&代数基本定理，复数域、实数域上的不可约多项式，韦达定理		&	&1, 3, 4		\\ \hline
	&2.8	&有理系数多项式，高斯引理，艾森斯坦判别法，有理根		&1	 &1, 2, 3, 4	\\ \hline
	&&{\color{red}复习}	&& \\ \hline
5	&7.1	&线性映射的定义，零映射、位似、单位映射，子空间在线性映射下的像与原像，线性映射的像与核，逆映射		&1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	 &1, 2, 3, 4	\\ \hline
	&7.2	&线性变换的定义，线性变换的运算，零变换、单位变换，线性变换的乘法，将线性变换代入一个多项式，可逆的线性变换		&	 &1, 2, 3, 4, 6		\\ \hline
6	&7.3	&线性变换关于基的矩阵，线性变换全体与矩阵全体之间的一一对应，同一个线性变换关于两个基的矩阵，相似的两个矩阵		&1, 2		&1, 2, 3, 4, 5	\\ \hline
	&7.4	&线性变换的不变子空间，不变子空间与矩阵的关系		&1, 2, 3, 4, 5, 6	 	&1, 2, 3		\\ \hline
7	&7.5	&线性变换的本征值和本征向量，矩阵的特征值和特征向量，矩阵的特征多项式，矩阵的迹		&1, 2, 3, 4, 5, 6 	&1, 2, 3, 4		\\ \hline
	&7.6	&矩阵可以对角化的定义和充要条件，线性变换的本征子空间，线性变换可以对角化的定义和充要条件		&1, 2	 	&1, 2, 3, 4, 5		\\ \hline
%8	&&{\color{red}期中考试}	&& \\ \hline
8	&&{\color{red}复习}	&& \\ \hline
9	&8.1	&欧氏空间的定义和例子，柯西-施瓦茨不等式，欧氏空间中的向量的长度与夹角的定义，两个向量正交的定义		&1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 	&1, 2, 3, 4, 5, 6		\\ \hline
	&8.2	&正交基，规范正交基，施密特正交化方法，正射影，正交矩阵		&1, 2, 3, 4, 5 	&1, 2, 7, 8		\\ \hline
10	&8.3	&正交变换的定义，正交变换的两个充分必要条件		&1, 2, 3, 4	 	&1, 2, 3, 8		\\ \hline
	&8.4	&对称变换的定义和等价条件，实对称矩阵必定正交相似于对角阵		&1	 	&1, 4, 6		\\ \hline
11	&&{\color{red}复习}	&& \\ \hline
12	&9.1	&二次型的定义，二次型的变量代换，合同的矩阵，一般数域上的对称矩阵都合同于对角阵，矩阵的合同变换		&1, 2, 3	&1, 2, 3	\\ \hline
	&9.2	&复数域上的二次型的典范形式，实数域上的二次型的典范形式，惯性定理，正负惯性指数，秩与符号差		&		&1, 2, 4, 5, 6		\\ \hline
13	&9.3	&正定二次型的定义，正定二次型的两个充分必要条件，主子式	&	 &1, 2, 3		\\ \hline
	&9.4	&主轴问题，实二次型通过变量的正交变换化为只含平方项		&	 	&1, 2		\\ \hline
14	&&{\color{red}复习}	&& \\ \hline
15	&&{\color{red}复习}	&& \\ \hline
16	&&{\color{red}期末考试}	&& \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

%\vspace{4cm}



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\end{document}


